Mersenne-Primzahlen

In der Antike und bis ins Mittelalter glaubte man, daß für jede Primzahl p die Zahl $2p-1$ wieder eine Primzahl ist. Dabei ist klar, daß $2k-1$ für eine zusammengesetzte Zahl k=mn wegen

keine Primzahl sein kann. So wurde etwa 1456 von einem unbekannten Mathematiker die Primzahleigenschaft von $213-1\; bewiesen.\; Daher\; war\; man\; erstaunt,\; als\; 1536\; Hudalricus\; Regius\; die\; Zerlegung\; von$ 211-1=2047=23*89$fand.\; Im\; Jahre\; 1603\; hattePietro\; Cataldibewiesen,\; daß\; auch$ 217-1$und$ 219-1$Primzahlen\; sind,\; und\; dann\; behauptet,\; daß\; dies\; auch\; für\; die\; Exponenten\; p=23,\; 29,\; 31\; und\; 37\; zuträfe.Pierre\; Fermatzeigte\; 1640\; jedoch,\; daß\; diese\; Behauptung\; für\; p=23\; und\; 37\; falsch\; ist\; undLeonhard\; Eulerzeigte\; 1738\; dasselbe\; für\; p=29,\; konnte\; allerdings\; 1750\; wirklich\; beweisen,\; daß$ 231-1$eine\; Primzahl\; ist.$

Im Jahre 1644 behauptete nun der französische Mönch Marin Mersenne im Vorwort seiner Cogitata Physica-Mathematica, daß für alle Primzahlen bis 257 nur die Fälle

eine Primzahl $2p-1$ lieferten.

Wenn man etwa die Größe der Primzahl (1876 von Lucas bewiesen)

bedenkt, so dürfte klar sein, daß Mersenne zu seiner Zeit unmöglich für alle Primzahlen p bis 257 die Primzahleigenschaft von $2p-1$ wirklich überprüft haben kann. So irrte er auch in den Fällen p=67 und 257. Außerdem bewies Pervouchine 1883, daß Mersenne den Fall p=61 übersehen hatte und Powers zeigte dasselbe 1911 für p=89 und 1914 für p=107. Trotzdem nennt man die Zahlen $M$_n=2ⁿ-1 heute Mersennesche Zahlen und insbesondere Mersennesche Primzahlen, wenn sie tatsächlich prim sind. Erst 1947 hatte man für alle Primzahlen p bis 257 wirklich überprüft, welche von ihnen Mersennsche Primzahlen liefern. Es sind dies

Warum ausgerechnet Mersennesche Primzahlen?

Satz: Für eine ungerade Primzahl p ist $M$_p genau dann eine Primzahl, wenn sie die Lucas-Zahl $L$_p-1 teilt.

Dabei sind die Lucas-Zahlen rekursiv durch $L$₁=4 und $L$_n+1=L_n²-2 definiert.

Welche Mersenneschen Primzahlen sind zur Zeit bekannt?

In der folgenden Tabelle sind in fortlaufender Numerierung die Mersenneschen Primzahlen $M$_p durch ihre erzeugende Primzahl p angegeben. Zusätzlich findet man weitere Informationen über $M$_p.

Falls schon aktuellere Mersenne-Zahlen bekannt sind, ist das unter folgender Adresse nachzulesen:

http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml